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電界(電場)とは

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[経歴]①国立大学工学部電気電子コースを早期卒業→②電験2種合格→③東京工業大学大学院工学院電気電子コースに進学→④電験1種と一陸技の取得を目指す

はじめにこの記事の使い方について説明します。

  • この記事は電気系の人間が書いたものなので、電場のことを電界と表現します。
  • 電界が導入された経緯について話します。
  • 電界の公式を覚える方法について解説します。

電界(電場)の概念が導入された経緯

電界について知りたい方は、スキップしていただいて構いませんが、そもそも、電界という概念を導入するとどんなメリットがあるかについて解説します。

クーロンの法則

荷電粒子同士が及ぼす力の1つにクーロン力があります。例えば、下の図のような真空中の2つの電荷の間に働く力を考えると、

電荷\(Q_2\)に働くクーロン力\(\overrightarrow{F} [N]\)はSI単位系で記述すると、

$$|\overrightarrow{F}|=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{|\overrightarrow{r}|^2}\tag{1}$$

と表すことができます。

2つの電荷の間に働く力

ちなみに、高校の教科書では、\(\overrightarrow{F}\)は\(k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\)とおいて、

$$\overrightarrow{F}|=k \frac{Q_1 Q_2}{|\overrightarrow{r}|^2}$$

と記述しています。こうすると、\(k=9.0 \times 10^9\)くらいになって使い勝手がよくなります。(そうなる理由もちゃんとあるので、別の記事で解説します。)

ところで、このクーロン力\(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\)をベクトルで表記するとどうなるでしょうか?

原点\(O\)から外向きの単位ベクトル\(i_r=\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}\)を定義して記述すると、

$$\overrightarrow{F}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{|\overrightarrow{r}|^2} i_r\tag{2}$$

となります。

そうすると、式(2)から電荷\(Q_1\)を原点において考えた場合は\(i_r\)の向きと\(\overrightarrow{F}\)の向きが等しくなります。

2つの電荷の間に働く力を考える場合、電界を導入するメリットはあまりありません。

では、複数個の電荷から受ける力を考えるとどうでしょうか?

\(Q_1\)が3つの電荷から受ける力

\(Q_1\)と\(Q_i\)(\(i=2,3,4\))に働く力を表すと、

$$|\overrightarrow{F}|=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_i}{|\overrightarrow{r}|^2} i_r$$

となり、クーロン力の公式を3回も適用すると、計算の手間がかかります。

ここで、電荷に働く力において\(\frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 |\overrightarrow{r}^2|i_2}\)が共通なので、\(\overrightarrow{E}|=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{|\overrightarrow{r}|^2} i_r\)と置けば、最終的に

$$\overrightarrow{F}=Q_{i}\overrightarrow{E}$$

と書けますので、\(\overrightarrow{E}\)をサブルーチン化しているので、計算の手間は減ります。

この\(\overrightarrow{E}\)こそが電界と呼ばれるものになります。

電界は計算の手間を省略するために導入されたといっても過言ではないでしょう。

ココがポイント

プログラミング的な観点から考えると、電界\(\overrightarrow{E}\)を導入すると、
計算プログラムのサブルーチン化が可能になり、計算量が少し減る

電界\(\overrightarrow{E}\)を導入するメリット

今、見てきたような電界\(\overrightarrow{E}\)は、点電荷\(Q_1\)が作る電界なので、ぶっちゃけそこまで難しくはありません。

しかし、次の例はどうでしょうか?

\(n\)個の電荷から受ける力

\(n\)個の電荷から受ける力

\(n\)個の電荷から受ける力を計算する場合は、全ての力を足せばいいので数列の\(\sigma\)(シグマ)を使います。そうするとクーロン力は、

$$\overrightarrow{F}=\sum_{i=1}^{n}\frac{Q_{1i}Q_2}{4\pi\varepsilon_0 |\overrightarrow{r}|^3}\overrightarrow{r}$$

となります。これをプログラムコードのfor文に記載するのはスマートではありません。そこで、先ほどの考え方を応用して、

\(Q_2\)が電荷\(Q_{1i}\)上に作る電界\(\overrightarrow{E_{2i}}\)を定義してサブルーチン化すると、先の式は、

$$\overrightarrow{F}=\sum_{i=1}^{n} Q_{1i}\overrightarrow{E_{2i}}$$

と書け、かなり見やすくなりました。

今度は、同じ電荷密度が分布している電荷群を考えましょう。

電荷群から受ける力

これも先ほどの議論と全く同じように\(E_2\)をサブルーチン化して積分すればOKです。

ただし、一般に3重積分はガウスの発散定理を用いて3重積分から2重積分の計算に落として、計算量のオーダーを減らすことができます。

この理由については別の記事で解説します。

少し話はそれましたが、電界\(E\)を導入することにはそれなりのメリットがあるというわけです。

この項での結論は、クーロン力の公式は覚えなくていいので、最低でも

$$\overrightarrow{F}=Q\overrightarrow{E}\tag{3}$$

これを覚えればOKです。

ココがポイント

クーロンの法則を覚えるための公式
$$\overrightarrow{F}=Q\overrightarrow{E}$$

電界(電場)とは

さて、本題に入ります。電界\(\overrightarrow{E}\)は式(3)より、

$$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{Q} [N/C]$$

と書けるので、単位は\([N/C]\)で表されます。その為、1クーロンの電荷に働く力であると言えますが、この回答は日本語的にはただしいですが本質をついた回答ではありません。

電界の本質は、電荷が空間に及ぼすベクトル場であるという事です。

そう考えると、クーロン力は電荷\(Q≠0\)箇所のみに及ぼすベクトル場であると言えますが、

電界は電荷\(Q≠0\)でも\(Q=0\)の所でもベクトル場を作る事ができるので、

言い換えれば、電荷が空間全体にベクトル場\(\overrightarrow{E}\)を及ぼしているという事が言えるでしょう。

重要公式ーまとめー

最後に重要公式をまとめて終わりにします。

点電荷\(Q\)に働く力\(overrightarrow{F} [N]\)は、

$$\overrightarrow{F}=Q\overrightarrow{E}$$

原点\(O\)の点電荷がつくる電界\(\overrightarrow{E} [N/C]\)は、

$$\overrightarrow{E}=\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 |\overrightarrow{E}|^2}i_r$$

点電荷が作る電界が分かれば、線電荷密度\(\lambda [C/m]\)、面電荷密度\(sigma [C/m^2]\)、体積電荷密度\(\rho [C/m^3]\)が作る電界はそれぞれ積分していくだけなので、

それに関しての記事は別で作成いたします。

自分で記事を書いて思ったのですが、相当わかりにくい説明だったと思います。これから説明力を鍛えていきますので、今後ともよろしくお願いします。

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[経歴]①国立大学工学部電気電子コースを早期卒業→②電験2種合格→③東京工業大学大学院工学院電気電子コースに進学→④電験1種と一陸技の取得を目指す

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