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電束密度とは?|電気のスペシャリストが語る

president

[経歴]①国立大学工学部電気電子コースを早期卒業→②電験2種合格→③東京工業大学大学院工学院電気電子コースに進学→④電験1種と一陸技の取得を目指す

こんにちは。私は大学で電気電子を専攻していまして、電束密度にものすごく触れてきた過去を持っています。

また、当方は電気主任技術者の受験経験がありますが、電磁気学の理論で一番最初に出てくる問題は電束密度の概念を使えば簡単に解ける傾向があります。

ということで、このような背景の元、電束密度の概念とその導入メリットについて解説します。

電束密度とは?

電束密度\(\overrightarrow{D}\)とは、単位は\([C/m^2]\)[クーロン毎平方メートル]です。単位面積当たりの電束(単位は\([C]\))と解釈しても良いでしょう。

これは物理的にはどういった意味でしょうか?

電束密度\(\overrightarrow{D})は電界\(\overrightarrow{E}\)同様、電荷が空間に及ぼすベクトル場です。

下記の記事の説明と重複しますが、

解説をさせていただきます。

一般的に、電荷は\(Q≠0\)の物体に対してクーロン力\(\overrightarrow{F}\)と呼ばれる力を与えます。これは、電界\(Q_1\)が\(Q_2\)のある場所にベクトル場\(\overrightarrow{E}\)を及ぼしているからに他なりません。式で書くと、

$$\overrightarrow{F}=Q_2 \underbrace{\frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 |\overrightarrow{r}|^2}i_r}_{\overrightarrow{E}}\tag{1}$$

このようにかけます。(\(i_r=\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}\)で定義される原点外向きの単位ベクトル)

では、電荷を\(Q_2=0\)とした場合はどうなるでしょうか。

この場合、クーロン力こそ0になりますが、電荷\(Q_1\)はベクトル場\(\overrightarrow{E}\)を空間に対して与え続けます。

これこそが、電界(\([V/m]\)または\([N/C]\))の本質でした。電束密度\(\overrightarrow{D}\)は、電界と次のような関係があります。

$$\overrightarrow{D}=\varepsilon \overrightarrow{E}\tag{2}$$

この式を読み解けば、電束密度は電界と向きが同じで電界に対して直線的に変化するということが読み取れますが、残念ながら例外はあります。詳細は下記の記事で解説していますので、ご覧ください。

これを導入することでどんなメリットがあるのでしょうか?

電束密度は電荷のみに依存する

先ほどの点電荷\(Q_1\)が作る電界\(\overrightarrow{E}\)について考えましょう。電界は、

$$\overrightarrow{E}=\frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 |\overrightarrow{r}|^2}$$

と与えられます。

ここで、考える空間の誘電率を\(\varepsilon\)に変えると、

$$\overrightarrow{E}=\frac{Q_1}{4\pi \varepsilon|\overrightarrow{r}|^2}$$

になります。

つまり、一定な電界をかけた場合は誘電率\(\varepsilon\)に依存します。

一定の外部電界をかけると、

こうなると、計算上扱いづらくなります。そこで、電束密度を導入すると、図は次のように書き換えることができます。

電束密度で表せば、物体内部外部に関わらず、\(\overrightarrow{D_0}\)は一定なので、誘電率によらない物理量であるということが言えます。

これは、材料の持つ誘電率を考えなくていいメリットがあります。

誘電分極については別の記事で解説します。

電束密度に関するガウスの法則

電束密度を導入するメリットは、ガウスの法則を簡単にできる点にあります。

ガウスの法則についても別記事で解説しようと思いますが、電界に関するガウスの法則を積分形で記述すると、

$$\oint_{S}\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n} dS=\frac{Q}{\varepsilon}\tag{3}$$

とかけます。

一方、\(\overrightarrow{D}=\varepsilon \overrightarrow{E}\)を代入して整理すると、

$$\oint_{S}\overrightarrow{D}\cdot \overrightarrow{n} dS=Q\tag{4}$$

と書くことができ、簡単に誘電体の電界が求められるようになります。

具体例をあげると、電気を送る為のケーブルです。

この問題もどこかで解こうと思いますが、

ケーブル内の電界を求める問題に出くわした時、電界に関するガウスの法則では、\(\varepsilon_0、\varepsilon_1、\varepsilon_2\)の3回程ガウスの法則を適用しなければいけませんが、

電束密度のガウスの法則を使えば、1回のガウスの法則を使うだけですみます。

ちなみに、ケーブルの対地静電容量(ケーブルと地面をコンデンサと見なしたときの静電容量)は、電線の対地静電容量(電線と地面をコンデンサと見なしたときの静電容量)に比べて、大きいことが知られていますので、どのくらい大きいかを計算で求めてみるのも面白いかもしれません。

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[経歴]①国立大学工学部電気電子コースを早期卒業→②電験2種合格→③東京工業大学大学院工学院電気電子コースに進学→④電験1種と一陸技の取得を目指す

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